Correct. Funeral homes do not use the same Mikve that the public uses for utensils or people.
I have never seen a Halacha to that effect, except for the Halacha to guards one's health.
Classicaly the Tahara was been done without a Mikve, but by pouring 9 Kav (11 liters / 3 gallons) of water on the body from 1, 2 or 3 vessels, as the Kitzur - in סימן קצז - דין התכריכין והטהרה - describes:
סעיף ב'
סֵדֶר הַטָּהֳרָה, מַרְחִיצִין בְּמַיִם חַמִּים כָּל גּוּפוֹ וְרֹאשׁוֹ, וּמְנַקִּין אוֹתוֹ הֵיטֵב בֵּין אֶצְבְּעוֹת יָדָיו וְרַגְלָיו וּבְכָל מָקוֹם, וְחוֹפְפִין אֶת רֹאשׁוֹ, וְסוֹרְקִין וְגוֹזְזִין שַׂעֲרוֹת רֹאשׁוֹ, וְנוֹטְלִין צִפָּרְנֵי יָדָיו וְרַגְלָיו (וּבִמְדִינָתֵנוּ אֵין נוֹהֲגִין זֹאת). וּצְרִיכִין לִזָּהֵר שֶׁלֹּא יַהַפְכוּ אֶת הַמֵּת עַל פָּנָיו, שֶׁהוּא דֶרֶךְ בִּזָּיוֹן, אֶלָּא יַטּוּ עָלָיו תִּשְׁעָה קַבִּין מַיִם, דְהַיְנוּ שֶׁמַּעֲמִידִין אֶת הַמֵּת עַל הַקַּרְקַע אוֹ עַל גַּבֵּי קַשׁ וְשׁוֹפְכִין הַמַּיִם עַל רֹאשׁוֹ שֶׁיֵרְדו עַל כָּל גּוּפוֹ.
סעיף ג'
שִעוּר תִּשְׁעָה קַבִּין יֶשׁ בּוֹ מַחֲלֹקֶת. (וְיֵשׁ לִקַּח לְעֵרֶךְ עֶשְׂרִים וְאַרְבָּעָה קְווָארְט פּוֹילִישׁ). וְאֵין צְרִיכִין שֶׁיִהְיוּ כֻלָם בְּכְלִי אֶחָד דַּוְקָא, אֶלָּא גַּם מִשֵּׁנֵי כֵלִים אוֹ מִשְׁלשָׁה, מִצְטָרְפִין, רַק שֶׁהַשֵּׁנִי יַתְחִיל לִצּוֹק בְּעוֹד שֶׁלֹּא הִפְסִיק הָרִאשׁוֹן, וְכֵן הַשְּׁלִישִׁי בְּעוֹד שֶׁלֹּא הִפְסִיק הַשֵּׁנִי. וְגַם אִם מְעָרֶה מִּכְּלִי אֶחָד, לֹא יַפְסִיק הַקִּלּוּחַ. וּמִתּוֹךְ אַרְבָּעָה כֵלִים, אֲפִלּוּ שׁוֹפְכִין בְּפַעַם אַחַת, אֵין מִצְטָרְפִין.
Nowadays, since we have become a relatively wealthy and Chumra-oriented society, using a Mikveh is slowly becoming the norm.