Rav Asher Weiss has a teshuvah about use of paper money for pidyon ha-ben. The basis for the question is that the Gemara (Bechoros 51a) states that one may not use shtaros for pidyon ha-ben because they are not "themselves money" (gufan mamon). He cites four views about the status of paper money today:
הנה נחלקו האחרונים בדין כסף בזה"ז אם הוי גופו ממון לענין פדיון הבן,
פדיון הקדש, מע"ש, אונאה ושומרין. דבכל הני איתמעטו שטרות משום דאין גופן
ממון, ויש בזה ד' דרכים.
בשו"ת חת"ס יו"ד סי' קל"ד מובאים דברי השואל, שכתב לחוש דאף דכסף בזמנינו
הוי כעין שטר במהותו שהרי אין ערך עצמי בשטרי הניר מ"מ הוי כגופו ממון
משום דכל שטר שכל המוציאו יכול לגבותו ולא רק אדם מסויים שהוא המלוה דינו
כשוה כסף וכגופו ממון. אך החת"ס דחה דבריו דכיון דמ"מ כל ערך השטר רק
משום הראיה שבו שעל ידו אפשר לגבות מן החייב, דינו כשטר וכאין גופו ממון.
אך מטעם אחר כתב החת"ס דכסף בזמנינו הוי גופו ממון ולא מיבעי' מטבעות אלא
אף שטרי כסף, משום דדינא דמלכותא הוא שיש לכבד כסף הממשלה ומשום דינא
דמלכותא נעשה כאילו יש בו ערך עצמי עי"ש.
ובשו"ת עונג יו"ט יו"ד סי' ק"ב חלק על החת"ס ונקט דמטבעות שיש בהם ערך
עצמי מצד המתכת שבהם, הוי גופו ממון אף שעיקר ערכם אינו משום המתכת אלא
משום הטיבוע ומצד היותם כסף היוצא דמ"מ יש בהם ערך עצמי וטבעי ומה דשוה
טפי משום היותם כסף מוכר מטעם המדינה אין בכך כלום והרי זה כסודרא דרב
כהנא וככל דבר שערכו עולה ע"י גורמים שונים של היצע וביקוש, אך שטרות כסף
שאין להם ערך עצמי כלל וכל שווים רק משום היותם כסף הוי בכלל אין גופו
ממון ופסולים לפה"ב.
והנה אף שהחת"ס נקט דגם שטרי כסף הוי גופו ממון לכל דיני תורה מ"מ לגבי
פה"ב נסתפק דכיון דהוי מצוה בין אדם למקום צריך שווי בעצם ודינא דמלכותא
אין לו משמעות כלפי מעלה עי"ש. אך מעודי תמוהה היתה בעיני סברא זו דמהי"ת
לחלק בין פדיון הקדש ומע"ש לפדיון הבן, דאף אם בהקדש אפשר דהוי גדר קנין
מהגזבר (וגם זה לא מילתא דפשיטא היא והארכתי במק"א) פדיון מע"ש למ"ד מע"ש
ממון גבוה ודאי לא הוי גדר קנין, אך ביותר יש לתמוה בעצם הסברא לחלק בין
בן אדם לחבירו ובן אדם למקום דמה לן לחלק בין דין לדין וממ"נ אם שווי זה
הוי גופו ממון ליהני לכל דבר, וצע"ג בדברי רבן של ישראל החת"ס.
והחזו"א ביו"ד סי' ע"ב אות ח'- י' ביאר בארוכה שיטתו בכל דין כסף בזמה"ז,
והסיק דאף דיסוד הכסף הוי כהתחייבות המימשל לפרוע תמורת כל שטרות הכסף
מ"מ עיקר שווי הכסף בשימושו ולכן הוי גופו ממון, ולא משום דינא דמלכותא
אלא משום מציאות החיים דשימושו בכח הקניה והפרעון הוא שמקנה לו ערכו ולא
הראיה שבו. ומשום כך הוי גופו ממון לכל דבר וגם לפה"ב.
וכך נראה עיקר להלכה ובפרט בזמנינו שמערכות הכלכלה העולמית השתנו לגמרי
דרק לפני עשרות שנים, לא רק בימי החת"ס והעיו"ט אלא אף בימי החזו"א שטרי
הכסף של מדינות היו נשענים על כסף וזהב וכדו' שבאוצרות המדינה והיה מעין
התחייבות של כל מדינה ומדינה לפרוע לכל מי שיבא ויבקש תמורת כספו, אבל
בזמנינו אין כל קשר בין כמות שטרי הכסף של מדינה לבין כסף וזהב
שבאוצרותיה ומה שקובע את כמות הכסף שמדינה מדפיסה אינו אלא ההשפעה שיש
לכמות הכסף על מערכות המשק דריבוי הכסף גורם עליית מחירים (אינפלציה),
וא"כ מסתבר דאין שטרי הכסף בכלל ראיה כלל ואינם דומים לשטרות וגופו ממון
ממש הם. ואף דפשוט דגם בזה"ז אין מטבע נעשה חליפין משום דדעתיה אצורתא
מ"מ הוי גופו ממון ואין זה ענין אצל זה, דאין הכסף שבזמנינו שטר וראיה
לגבות כלום מהמדינה וכל ערכו תלוי רק בכח הקניה שבו ופשוט לכאורה דהוי
גופו ממון.
In short:
according to the Chasam Sofer, paper money has the status of gufo mamon based on dina de-malchusa.
according to the Oneg Yom Tov, it does not have the status of gufo mamon
- (and the Chasam Sofer may agree with the Oneg Yom Tov for a special reason regarding pidyon ha-ben)
according to the Chazon Ish it has the status of gufo mamon, not because of dina de-malchusa but because in reality paper money has value.
Rav Asher Weiss agrees with the Chazon Ish, and notes that nowadays, unlike until the recent past, paper money is not backed by silver. Thus it is more likely to be considered to have inherent value and is less like a shtar.